Ключи в связке: вероятность ожидания при случайном выборе

Простая задача у входной двери

Представим связку из четырёх внешне одинаковых ключей. Один открывает нужную дверь, а какой именно — неизвестно. Человек выбирает ключ наугад, проверяет его, откладывает в сторону и берёт следующий. Сколько проверок потребуется? Это бытовая задача о времени ожидания: нас интересует не только шанс успеха при одном выборе, но и вероятность того, что успех не наступит сразу.

Предположим, что каждый ключ выбирают с одинаковой вероятностью, неподходящие ключи не возвращают в связку, а правильный ключ обязательно окажется среди четырёх. Тогда первый выбор успешен с вероятностью 1/4. Если первая попытка не удалась, среди оставшихся трёх ключей правильный один, и шанс попасть на него при второй проверке равен 1/3. Вероятности отдельных шагов меняются: это выбор без возвращения.

Вероятность неудачи накапливается

Удобнее сначала посчитать, какова вероятность не найти нужный ключ за определённое число попыток. За одну попытку неудача случится в трёх случаях из четырёх, то есть с вероятностью 3/4. Чтобы ошибиться и при первом, и при втором выборе, нужно сначала взять неверный ключ, а потом — один из двух неверных среди оставшихся трёх. Вероятность такого пути равна 3/4 × 2/3, то есть 1/2.

Значит, к концу второй проверки нужный ключ уже найден в половине всех возможных порядков связки. Вероятность найти его не позже третьей проверки составляет 3/4: единственный способ не найти его к этому моменту — начать с трёх неверных ключей, а правильный оставить последним. Для четырёх ключей эта последовательность — одна из 24 возможных перестановок, поэтому шанс получить её равен 1/24.

Такой расчёт не означает, что каждая новая ошибка делает удачу ближе в каком-то мистическом смысле. Он описывает, сколько вариантов остаётся после конкретных действий. После проверки и откладывания неверных ключей набор действительно уменьшается, поэтому вероятность на следующем шаге меняется.

Ожидаемое число попыток — не обещание

Можно спросить не о вероятности уложиться в заданное число проверок, а о среднем количестве проверок до успеха. Если правильный ключ с равной вероятностью занимает любое из четырёх мест в случайном порядке, то число попыток может быть 1, 2, 3 или 4 — каждое значение встречается с одинаковой вероятностью. Среднее равно (1 + 2 + 3 + 4) / 4, то есть 2,5 попытки.

Дробное среднее не описывает отдельный случай: нельзя выполнить половину проверки. Оно суммирует разные возможные исходы и делит сумму на их число. В реальной жизни такой результат может служить кратким описанием множества повторений, но не предсказанием для конкретного человека. Иногда дверь откроется сразу, иногда нужный ключ окажется последним.

Среднее также не означает, что большинство случаев обязательно завершится ровно на второй или третьей попытке. В данном примере вероятность каждого места одинакова, а среднее находится между возможными значениями. В других задачах распределение времени ожидания может быть асимметричным: много коротких ожиданий и небольшое число очень длинных способны заметно сдвинуть среднее.

Что меняется, если ключ возвращать

Сравним другой порядок действий. Допустим, человек после каждой неудачной проверки возвращает ключ в связку и снова выбирает наугад. Теперь шансы при каждой попытке остаются прежними: вероятность успеха равна 1/4, а неудачи — 3/4. Попытки независимы в математической модели: предыдущая неудача не меняет состав связки.

В такой ситуации вероятность не найти правильный ключ за две попытки равна 3/4 × 3/4 = 9/16. При выборе без возвращения она была 1/2. Различие возникает не из-за особого свойства случайности, а потому, что процедура другая. Если ключи откладывать, неверный вариант исчезает из дальнейших выборов; если возвращать — он снова может попасться.

Такая оговорка важна в бытовых расчётах. Фраза «шанс каждый раз один к четырём» подходит только к определённой модели. Иногда предметы возвращают в исходный набор, иногда нет. Иногда выборки зависят друг от друга, а иногда их разумно приближённо считать независимыми. Прежде чем считать, полезно описать сам порядок действий.

Модель — карта, а не бытовая инструкция

Пример с ключами намеренно упрощён. В жизни ключи могут отличаться по форме, человек способен распознать подходящий ключ по бороздкам, а дверь иногда открывается лишь при определённом движении. Такие подробности меняют вероятности и могут сделать предположение о равных шансах неверным.

Математическая модель полезна не потому, что точно копирует каждую деталь, а потому, что делает допущения видимыми. Здесь это равновероятный порядок, один подходящий ключ и правило не возвращать уже проверенный ключ. Если допущения не соответствуют ситуации, расчёт следует читать как ответ на условную задачу, а не как универсальный прогноз.

Именно поэтому разговор о среднем, вероятности неудачи и числе попыток лучше вести раздельно. «Ожидается 2,5 проверки» — утверждение о среднем по возможным порядкам. «К третьей проверке успех наступил в трёх случаях из четырёх» — утверждение о доле подходящих порядков. Ни одно из них не сообщает, каким будет конкретный исход, но вместе они дают ясную картину того, что именно означает случайный выбор.