Чужое пальто по жребию: вероятность совпадений при случайной раздаче

Задача из гардероба

Представим, что после семейного праздника четыре человека оставили пальто в общем гардеробе. При уходе вещи случайно раздают обратно: каждое пальто получает ровно один человек, и каждый человек уносит ровно одно пальто. Нас интересует не то, кому достанется конкретная вещь, а более общий вопрос: какова вероятность, что хотя бы один человек получит собственное пальто?

Это задача о случайной перестановке. Перестановка — любой способ распределить имеющиеся предметы между людьми без повторов и пропусков. Важно условие: распределение действительно случайное. Если пальто выдают, узнавая хозяев, или сначала сортируют по размеру, модель уже не описывает происходящее.

Такая постановка полезна не только для гардероба. Она подходит к любому небольшому набору вещей, которые случайным образом возвращают владельцам: например, к подписанным папкам или одинаковым коробкам с личными предметами. Она также позволяет увидеть, почему вопрос «совпадёт ли кто-нибудь?» отличается от вопроса «получит ли верно вещь каждый?».

Сначала посчитаем все варианты

У четырёх пальто есть 24 возможных порядка раздачи: первое можно выдать четырём способами, второе из оставшихся — тремя, затем — двумя, последнее — одним. Умножение даёт 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Если каждый порядок равновероятен, вероятность события равна числу подходящих порядков, делённому на 24.

Сколько раз никто не получает свою вещь? Таких распределений девять. Их можно перечислить, но полезнее проверить ответ последовательным подсчётом. Сначала зафиксируем, кому досталось пальто первого человека, и затем исключим все варианты, в которых кто-либо получает своё. Для четырёх человек итог — девять допустимых перестановок без единого совпадения. Значит, вероятность хотя бы одного совпадения составляет 1 − 9/24 = 15/24, то есть 5/8.

Число 5/8 — это 62,5 процента. Оно относится именно к описанной модели из четырёх людей, а не к любой раздаче вещей. При большем числе участников доля распределений с хотя бы одним совпадением меняется, хотя довольно быстро оказывается близкой к значению около 63 процентов.

Почему совпадение не становится почти неизбежным

На первый взгляд рост числа людей должен резко повышать шанс совпадения: появляется всё больше возможных пар «человек — его вещь». Но одновременно ещё быстрее растёт общее число способов раздать вещи. Поэтому важно не считать только количество возможных совпадений, а сравнивать его с количеством всех распределений.

Есть наглядный способ понять, почему шанс хотя бы одного совпадения не приближается к ста процентам. Для каждого человека вероятность получить собственную вещь равна 1/n, где n — число участников. Если сложить эти вероятности для всех n человек, получится 1. Это означает, что среднее число совпадений в случайной раздаче равно единице. Но из этого не следует, что совпадение обязательно случается: в одних раздачах совпадений нет, в других их несколько.

Здесь важно различать среднее число совпадений и вероятность хотя бы одного совпадения. Среднее учитывает и распределения с двумя или тремя правильными парами, тогда как вероятность события «есть хотя бы одна» считает каждое такое распределение один раз. Это разные характеристики одного и того же процесса.

Подсчёт через исключение

Для большего числа участников можно рассуждать не прямым перечислением, а исключением нежелательных случаев. Начинаем со всех возможных раздач. Затем вычитаем варианты, где собственную вещь получил хотя бы один заранее выбранный человек. Но распределения, где совпали два человека, при таком вычитании учитываются дважды, поэтому их нужно вернуть. После этого снова приходится вычитать случаи с тремя совпадениями и продолжать чередование.

Этот приём называется включением и исключением. Для n участников вероятность, что никто не получит свою вещь, выражается суммой 1 − 1 + 1/2! − 1/3! + 1/4! и так далее, с чередованием знаков и слагаемыми до n. При увеличении n сумма приближается к 1/e, то есть примерно к 0,368. Поэтому вероятность хотя бы одного совпадения приближается к 1 − 1/e, примерно к 0,632.

Для бытового понимания не обязательно запоминать формулу. Главное в ней — чередование: сначала мы вычитаем случаи с совпадениями, затем компенсируем двойной учёт, после чего корректируем повторный учёт более сложных пересечений. Простое сложение вероятностей отдельных совпадений здесь не даёт правильного ответа, потому что несколько человек могут одновременно получить свои вещи.

Что модель объясняет — и чего не обещает

Результат около 63 процентов легко неверно истолковать. Он не означает, что каждый человек имеет шанс около 63 процентов получить собственную вещь: вероятность для отдельного человека равна 1/n. Это вероятность события для всей группы — того, что найдётся хотя бы один человек с правильным предметом.

Модель также не утверждает, что реальные раздачи всегда случайны. Люди могут выбирать вещи по цвету или размеру, замечать метки, подсказывать друг другу. Такие обстоятельства меняют вероятности. Даже небольшое отклонение от предположения о равновероятности может повлиять на результат, особенно в маленькой группе.

Задача с пальто показывает общий принцип: чтобы оценить шанс события, нужно точно определить, какие исходы считаются возможными и насколько они равновероятны. Затем стоит уточнить, что именно спрашивается — число совпадений, среднее их количество или наличие хотя бы одного. Эти вопросы звучат похоже, но приводят к разным подсчётам. В этом и состоит практическая ценность вероятностного мышления: оно помогает не только вычислять, но и формулировать вопрос без двусмысленности.