Почему случайный пассажир чаще попадает в длинный промежуток

Два способа выбрать промежуток

Представим остановку, где автобусы иногда приходят через две минуты, а иногда — через десять. Если перечислить все промежутки и выбрать один наугад, короткий и длинный окажутся равноправными. Средняя длина такого промежутка составит шесть минут. Но пассажир, пришедший в случайный момент, выбирает не промежуток из списка: он с большей вероятностью застанет тот интервал, который занимает большую долю времени.

Это различие между выборкой промежутков и выборкой моментов помогает понять так называемый парадокс ожидания. Никакого противоречия в нём нет: меняется способ наблюдения. Автобусные интервалы можно считать по одному, а время ожидания отдельного пассажира зависит от того, когда именно он пришёл.

Как длинный интервал получает больше наблюдателей

Пусть расписание повторяется: один раз между автобусами проходит две минуты, в другой — десять, затем чередование повторяется. На вопрос «какова средняя длина промежутка между автобусами?» ответ прост: сложить два и десять и разделить на два. Получается шесть минут.

Теперь посмотрим на пассажиров, приходящих без привязки к расписанию. Десятиминутный промежуток длится в пять раз дольше двухминутного. Поэтому случайный момент времени в пять раз вероятнее окажется внутри длинного промежутка. Если мысленно наблюдать остановку в случайные моменты, длинные интервалы будут чаще попадать в поле зрения — даже если в расписании длинных и коротких интервалов поровну.

Это не значит, что автобусы изменили расписание или что пассажиры как-то выбирают длинное ожидание. Дело только в длительности: длинный промежуток предоставляет больше возможных моментов для случайного прихода.

Считаем среднее ожидание

Внутри двухминутного промежутка равномерно пришедший пассажир в среднем ждёт одну минуту: иногда он приходит почти перед автобусом, иногда — почти сразу после него. В десятиминутном промежутке среднее ожидание равно пяти минутам. Но эти два средних нельзя просто усреднить поровну для случайного пассажира.

Из всех моментов наблюдения лишь одна шестая приходится на короткий промежуток: он длится две минуты из общих двенадцати. Остальные пять шестых приходятся на длинный. Поэтому среднее ожидание равно сумме двух величин с такими весами: одна шестая от одной минуты и пять шестых от пяти минут. Получается четыре и одна треть минуты.

Если же выбрать один промежуток из расписания с равной вероятностью, среднее ожидание внутри выбранного промежутка будет три минуты: половина от средней длины в шесть минут. Разница между тремя и четырьмя с лишним минутами возникает потому, что в первом случае промежутки получают равные веса, а во втором вес зависит от их продолжительности.

Общий принцип выборки по времени

Такой эффект встречается не только на остановке. Если случайно взглянуть на часы, вероятность застать длинный фильм выше, чем вероятность застать короткий, при условии что оба одинаково часто включают. Сходная логика действует, когда случайный наблюдатель попадает в занятое или свободное состояние системы: продолжительные состояния легче застать, потому что они дольше длятся.

В статистике это называют смещением длительностью: наблюдения, связанные с долгими эпизодами, чаще представлены в выборке, собранной в случайные моменты. Важно не путать такую выборку со списком всех эпизодов. Например, список длительности поездок может одинаково учитывать короткие и длинные поездки, тогда как наблюдатель, который приходит на станцию в случайное время, чаще увидит длинную поездку, если она ещё продолжается.

Один человек, замечающий долгое ожидание, не обязательно представляет типичный интервал по расписанию. И наоборот, таблица интервалов сама по себе не сообщает, сколько в среднем ждёт пассажир, если моменты его прихода распределены по времени. Для ответа нужно знать не только длины промежутков, но и то, как именно выбираются наблюдения.

Границы примера и полезный вопрос

Расчёт выше предполагает повторяющийся цикл из двух интервалов и равномерный приход пассажиров: любой момент внутри цикла считается одинаково возможным. Если расписание устроено иначе, автобусы задерживаются или люди приходят к остановке по расписанию, среднее ожидание может быть другим. Модель нужна не для точного описания любой поездки, а чтобы отделить два понятия: среднюю длину интервала и среднее время ожидания.

При чтении любого показателя полезно сначала спросить: что именно выбрали случайным образом — событие из списка или момент времени? Этот вопрос помогает замечать незаметную смену весов. Длинные эпизоды могут непропорционально часто попадать в наблюдения не потому, что их больше по числу, а потому, что они занимают больше времени. Так бытовая ситуация у остановки показывает важную особенность вероятности: результат зависит не только от явлений, но и от способа, которым мы их наблюдаем.