Почему второй выбор уже не такой случайный: вероятность без возвращения

Случайность зависит от того, что осталось

Представим коробку с десятью одинаковыми на вид карточками: на четырёх нарисован круг, на остальных шести — квадрат. Мы достаём карточку, смотрим на рисунок и не кладём её обратно. Какова вероятность увидеть круг? До первого выбора ответ прост: четыре карточки из десяти, то есть вероятность равна 4/10. Но после этого состав коробки меняется. Второй выбор зависит от того, что случилось первым.

Это пример выборки без возвращения. В ней предметы, уже выбранные из набора, больше не участвуют в следующих выборах. Поэтому вероятности могут меняться от шага к шагу. Для сравнения: если после каждого взгляда возвращать карточку в коробку и перемешивать, каждый раз снова будут доступны все десять карточек, а вероятность круга останется 4/10.

Разница заметна во многих бытовых ситуациях: когда берут конфету из общей миски, достают книги из стопки для чтения или вытягивают из коробки один из жетонов. Чтобы рассуждать о вероятностях, полезно уточнить не только, что именно выбирают, но и возвращают ли выбранный предмет в исходный набор.

Как меняется шанс после первого выбора

Вернёмся к карточкам. Если первой достали карточку с кругом, в коробке осталось три круга и пять квадратов — всего восемь карточек. Вероятность круга при втором выборе теперь равна 3/8. Если же первой оказалась карточка с квадратом, в коробке осталось четыре круга и пять квадратов. Тогда вероятность круга при втором выборе равна 4/9.

Таким образом, у вопроса «каков шанс круга при втором выборе?» есть два возможных ответа, если неизвестно, что было первым. При известном результате первого выбора ответ условный: он учитывает уже полученную информацию. При неизвестном результате нужно рассмотреть оба варианта первого шага и объединить их с учётом вероятностей.

Можно проверить итоговую вероятность второго круга прямым подсчётом. Есть десять карточек, которые могут оказаться первыми. Для каждой из четырёх карточек с кругом после неё остаются три круга среди девяти карточек. Для каждой из шести карточек с квадратом остаются четыре круга среди девяти. Поэтому вероятность получить круг вторым составляет (4/10 × 3/9) + (6/10 × 4/9), то есть 36/90, или 4/10. Хотя условные шансы различаются, общий шанс на втором шаге совпадает с долей кругов в первоначальном наборе.

Порядок событий и вероятность пары

Теперь зададим другой вопрос: какова вероятность, что первые две карточки обе окажутся кругами? Для этого важно, чтобы круг был и первым, и вторым. Вероятности двух последовательных условий перемножаются: шанс круга сначала равен 4/10, а после круга шанс ещё одного круга составляет 3/9. Значит, вероятность двух кругов подряд равна 4/10 × 3/9, то есть 2/15.

Если карточку каждый раз возвращать, расчёт будет другим: вероятность круга на каждом шаге равна 4/10, поэтому вероятность двух кругов подряд равна 4/10 × 4/10, или 4/25. Разница возникает не из-за того, что случайность «помнит» прошлое. Причина проще: в одном случае первый круг удалён из набора, а в другом набор перед вторым выбором восстановлен.

Тут легко спутать два вопроса: шанс получить круг на втором шаге и шанс получить два круга подряд. Первый включает любые варианты первого выбора, второй требует определённой последовательности. Точное описание события часто важнее сложных вычислений.

Пример с книгами на полке

Допустим, на полке стоят двенадцать книг: пять рассказов и семь книг о природе. Если наугад выбрать одну книгу и отложить её, шанс взять рассказ равен 5/12. Если это оказался рассказ, для следующего выбора остаются четыре рассказа среди одиннадцати книг. Если первой была книга о природе, рассказы по-прежнему составляют пять из оставшихся одиннадцати.

Но если нужно узнать вероятность того, что в двух выбранных книгах окажутся жанры разного типа, придётся учесть оба порядка: сначала рассказ, затем книга о природе, или наоборот. Вероятность первого порядка равна 5/12 × 7/11, второго — 7/12 × 5/11. Складывая их, получаем 70/132, то есть 35/66. Такой расчёт показывает, как один бытовой вопрос превращается в несколько понятных случаев.

Если книги после каждого выбора возвращают на полку и перемешивают, состав набора не меняется. Тогда оба шага имеют прежние доли: 5/12 рассказов и 7/12 книг о природе. Это уже другая модель ситуации, даже если внешне действия выглядят похоже.

Что показывает модель — и чего она не обещает

Расчёты предполагают, что каждый предмет выбирается с одинаковой вероятностью и что правила отбора известны. В реальности карточки могут быть разного размера, книги — стоять неравномерно, а человек — тянуться к знакомому цвету. Тогда простая модель равновероятного выбора может не описывать происходящее. Математический ответ точен лишь относительно принятых условий.

Выбор без возвращения напоминает: после получения новой информации прежний набор возможностей может измениться. Это не означает, что первый исход предсказывает следующий каким-то таинственным образом. Он влияет на расчёт только тогда, когда изменяет состав доступных вариантов. Если же каждый раз выбирают из восстановленного набора, предыдущий результат сам по себе не меняет вероятности следующего.

Для бытового рассуждения достаточно сначала ясно сформулировать событие, затем посчитать, что осталось после каждого шага, и отдельно проверить, возвращается ли выбранный предмет. Такой порядок помогает не смешивать вероятность одного результата с вероятностью целой последовательности и видеть, откуда именно берётся изменение шансов.